Mathematical Background

Norm (長度)

A norm is a function $||。||$：$\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$。滿足下列三個條件：

• $||x|| \geq 0$, and $||x|| = 0$ only if $x=0$.
• $||x+y|| \leq ||x|| + ||y||$.
• $||\alpha x|| = |\alpha|||x||$.

Positive Definite Matrices (正定矩陣)

An $n \times n$ real symmetric matrix $M$ is positive definite if $z^TMz > 0$ for all non-zero vectors $z \in \mathbb{R}^n$.

特性

• $M$ 的所有特徵值 $\lambda$ 為正整數。
• 存在一個下三角矩陣$L$且具有嚴格大於0的對角元素，$M$ 可分解成 $M = LL^T$，稱為Cholesky decomposition.